Banachova veta o pevnom bode
Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.
Definície[upraviť | upraviť zdroj]
Pevný bod[upraviť | upraviť zdroj]
Nech je zobrazenie. Bod nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak .
Kontraktívne zobrazenie[upraviť | upraviť zdroj]
Nech je metrický priestor, nech . Nech je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, taká, že pre všetky platí
Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre .
Znenie vety[upraviť | upraviť zdroj]
Nech je úplný metrický priestor. Nech je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod . Navyše, pre každé platí pre (symbol označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí .
Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]
Existencia pevného bodu[upraviť | upraviť zdroj]
Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí
Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí
Keďže
je postupnosť fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí
čiže u je pevný bod zobrazenia f.
Jednoznačnosť pevného bodu[upraviť | upraviť zdroj]
Sporom. Nech sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:
z čoho , čo je spor.
Rýchlosť konvergencie[upraviť | upraviť zdroj]
Tvrdenie
dokážeme matematickou indukciou:
- Nech . Potom z kontraktívnosti f:
- Nech tvrdenie platí pre . Ukážeme, že platí aj pre :
Aplikácie[upraviť | upraviť zdroj]
K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.
Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]
- Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004.
- Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.
Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]
- Dôkaz Banachovej vety o pevnom bode Archivované 2012-02-16 na Wayback Machine na Bourbawiki (po anglicky).
- Banach Fixed Point Theorem[nefunkčný odkaz] (po anglicky).
- Článok o Banachovej vete o pevnom bode na PlanetMath (po anglicky).