Symetrická diferencia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Venn0110.svg/220px-Venn0110.svg.png)
Symetrická diferencia množín je
zjednotenie množín bez ich prieniku.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Venn0111.svg/40px-Venn0111.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Venn0001.svg/40px-Venn0001.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Venn0110.svg/40px-Venn0110.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Venn_0110_1001.svg/220px-Venn_0110_1001.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Venn_0110_0110.svg/40px-Venn_0110_0110.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Venn_0000_1111.svg/40px-Venn_0000_1111.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Venn_0110_1001.svg/40px-Venn_0110_1001.svg.png)
Symetrická diferencia alebo symetrický rozdiel dvoch množín je v teórii množín množina tých prvkov, ktoré patria práve do jednej z množín. Obsahuje teda všetky prvky z oboch množín, ktoré sa nenachádzajú v ich prieniku.[1]
Symetrická diferencia množín A a B sa značí ako
alebo
alebo
Napríklad symetrická diferencia množín a je množina . Symetrická diferencia množín dievčat a študentov je množina všetkých dievčat, ktoré nie sú študentky a všetkých chlapcov študentov.
Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]
Symetrická diferencia je ekvivalentná so zjednotením oboch rozdielov množín:
a môže byť tiež vyjadrená ako zjednotenie dvoch množín bez ich prieniku:
alebo cez prvky pomocou logickej operácie XOR:
Z definície vyplýva, že symetrická diferencia je vždy (vlastnou alebo nevlastnou) podmnožinou zjednotenia množín:
pričom rovnosť v tejto neostrej inklúzii platí vtedy a len vtedy, ak a sú disjunktné množiny.
Symetrická diferencia je komutatívna a asociatívna:
Prienik je distributívny nad symetrickou diferenciou:
Prázdna množina je neutrálnym prvkom symetrickej diferencie a každá množina je svojím vlastným inverzným prvkom vzhľadom na symetrickú diferenciu:
Potenčná množina každej množiny sa teda stáva abelovskou grupou so symetrickou diferenciou ako operáciou a prázdnou množinou ako neutrálnym prvkom, kde neutrálny prvok a každý ďalší prvok grupy je svojím vlastným inverzným prvkom.[2]
Referencie[upraviť | upraviť zdroj]
Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]
Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Symetrická diference na českej Wikipédii.